4.5 与积分有关的极限

1．证明．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $\displaystyle p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．

2．求下列极限．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．

3．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。

4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(x-t) \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x^{m} \int_{0}^{\frac{1}{x}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，其中 $\displaystyle m$ 为任意整数．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t)(\sin x-t) \mathrm{d} t}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域连续，且 $\displaystyle f(0) \neq 0$ 。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\alpha} \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t(\alpha>0)$ ．

6．设 $\displaystyle F(x)=\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}} \int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t, x \in[0,+\infty)$ ，试证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=0$ ；（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内单调递减．

7．求证下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续周期函数，周期 $\displaystyle T>0, \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=C$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=C$ 。

9．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．

10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调增加，在任 意的有穷区间 $\displaystyle [0, T]$ 上 $\displaystyle f(x)$ 可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=C$ ．证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．

11．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明．
（1） $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。南京师大 2006 ，四川大学 2000 ，扬州大学 2009，西南交大 2007，湖南大学 2005，东南大学 2007，华东师大 2002，北京师大 1995）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{1}{1+x^{2}} f\left(\frac{x}{\lambda}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \int_{0}^{1} \frac{f(t) \arctan (x t)}{1+t^{2} x^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{x \cos t}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}$ ．

12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．

13．证明下列命题，并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{n}(x)\right| \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续有界，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{a<x<b} f(x)=1$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续恒大于 0 ，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \sqrt[p]{\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, a+1]$ 上的连续正值函数，$\displaystyle M=\sup _{a<x<a+1} f(x), A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}$ ．证明：$\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$关于 $\displaystyle n$ 单调递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a<x<b} f(x)$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ 。
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2013} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

14．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b] \subset\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \sin x \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}(\sin x)^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x=\pi$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sqrt[n]{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ 上连续，且恒取正值，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D}(\sin x)(f(x, y))^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} \sigma$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明下面结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1) ;$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（4）设 $\displaystyle p(x)$ 为实系数多项式。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} p(x) \mathrm{d} x=p(1)$ 。如果 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，关于下式 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，你能得一个什么结论，并证明你的结论。

16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，在 $\displaystyle x=b$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{(b-a)^{n+1}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(b)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在 $\displaystyle x=1$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，在 $\displaystyle x=1$ 可导，$\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ．

17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．

18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x=f(0)$ ．

19．证明或求下列极限．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ，其中设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ 。中科院 2011）
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（5）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（6）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．

20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)=0, f(1)=1,0 \leqslant f(x)<1, x \in(0,1)$ ．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．（大连理
（2）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b],|f(x)|<1, x \in(a, b)$ 。求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．

21．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \cdot \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2}=0$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（7）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle a \in(0,1)$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．

22．计算下列极限．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．

23．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $\displaystyle n$ ，令 $\displaystyle x_{k}=a+k \frac{b-a}{n}, k=0,1, \cdots, n$ ， $\displaystyle A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$ ．

24．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。

25．设 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)$ 是周期为 1 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} g(x) f(n x) \mathrm{d} x$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。

27．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且在 $\displaystyle x=0$ 处可导，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$

28．证明下列命题并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$

（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。

29．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b+d]$ 上可积，求证：

$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$

（3）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $\displaystyle M$ ，使得对于任意 $\displaystyle f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $\displaystyle [a, b]$ 都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $\displaystyle [c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $\displaystyle [c, d]$ 上绝对可积函数 $\displaystyle h(x)$ ，恒有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．

30．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．